Função Exponencial

Um exemplo bem presente na nossa vida é o caso dos juros. Num primeiro mês você vai ao banco e deposita R$100,00 a um juro de 3% ao mês. Passando-se um mês o seu rendimento será R$100,00 mais R$3,00, logo você terá R$103,00, ou seja, 100×(1+0,03) = 100×1,03. No mês seguinte o seu juro será calculado sobre os seus R$100,00 que você colocou no banco ou sobre os R$103,00 que você obteve com os juros deste mês? É claro que se for para se calcular o juro somente em cima do que você colocou não vale a pena não é? Então o que acontece é que agora o seu capital é R$103,00 e é ele quem vai ser a base para o cálculo de juros deste mês. Logo ao final do 2^o mês o seu capital será (103,00*3%), ou seja, [(100*1,03)*1,03] ou 100*(1,03)². No final do 10º mês o seu saldo (se você não retirar nem colocar mais capital no banco) será 100*(1,03)¹⁰ ou seja o capital inicial multiplicado pelo juro elevado ao tempo de aplicação.

Como pudemos observar o gráfico formado não é uma reta. Para este tipo de gráfico podemos então escrever f(x)=100×(1,03)^x em termos de função. Funções como esta são chamadas Funções Exponenciais.

Definição: f(x) = b×a^x

A função f : Rà-R⁺ definida por f(x)=a^x, com a Î IR⁺ e a¹1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR⁺ (reais positivos, maiores que zero).

Propriedades:

(1) a^x×a^y = a^x+y,

(2) a¹ = a

(3) x<y Þ a^x<a^y, quando a>1 e

x<y Þ a^y<a^x, quando 0<a<1

Como podemos ver essas são as mesmas propriedades de potências. (Ver apêndice A)

Além dos inteiros, podemos ainda ter números Racionais, Reais. No caso dos juros ainda existem juros ao dia, ao mês e ao ano o que modifica o expoente na hora de calcular o juro na metade do período. No exemplo do ano cada mês é 1/12 do ano. Para o caso do dia cada dia é 1/30 do mês.

Dizemos que uma função é

CRESCENTE se para quaisquer x₁ e x₂ do domínio:

x₂>x₁ Þ y₂>y₁ e

DECRESCENTE se para quaisquer x₁ e x₂ do domínio:

x₂>x₁ Þ y₂<y₁

Para podermos ver melhor esses resultados, plote os seguintes gráficos exponenciais:

f(x)=2^x, g(x)=10^x, h(x)=e l(x)=. O que você pode observar?

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Temos 2 casos a considerar:

Ø quando a>1;

Ø quando 0<a<1.

Acompanhe os exemplos seguintes:

1)     y=2^x , y=4^x , y=8^x , y=10^x(nesse caso, a=2, logo a>1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

Para y=2^x	X	-1	0	1	2
	Y		1	2	4
Para y=4^x	x	-1	0	1	2
	y		1	4	16
Para y=8^x	x	-1	0	1	2
	y		1	8	64
Para y=10^x	x	-1	0	1	2
	y		1	10	100

Assim podemos obter um gráfico para cada exponencial:

1)    , (nesse caso, 0<a<1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e os gráficos abaixo:

	x	-1	0	1	2
	y	2	1
	x	-1	0	1	2
	y	4	1
	x	-1	0	1	2
	y	8	1
	x	-1	0	1	2
	y	10	1

Nas funções exponenciais podemos notar que:

a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;

b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);

c) a função é contínua e bijetora.

d) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR⁺.

A partir disso, podemos estabelecer o seguinte:

A>1	0<A<1

Ou seja, a função exponencial é crescente se a>1 e decrescente se 0<a<1.

Exemplo 1:

Quem já tomou algum remédio? É claro que todos nós já tivemos que tomar algum tipo de remédio. Eis aqui uma coisa bem interessante a respeito da “meia-vida” dos remédios. Na bula de alguns remédios elas vêm expressas como o tempo de ação máxima do remédio. Vejamos o exemplo de um remédio de 25mg.

f(0) = 25

f(1) = 12,5

f(2) = 6,125

f(3) = 3,0625

f(4) = 1,53125

Depois de 6 horas que você tomou o remédio ele chega a meia-vida, ou seja, o instante 1. Ao passar mais 6 horas, o instante 2, ele chega a metade da meia vida e assim sucessivamente. Sendo que chegará um ponto em que quase não existirá mais remédio no seu organismo, mas isso não quer dizer que ele chegou ao índice zero, apenas diminuiu muito a quantidade do remédio no seu organismo.

Podemos perceber pelo gráfico que essa função não é linear, pelos valores encontrados na descrição da função vemos que ela leva uma progressão aritmética (0,1,2,3,…) em uma progressão geométrica (25; 12,5; 6,125; 3,0625; 1,53125; …) cuja razão é 0,5 e isso caracteriza uma função exponencial, como nos mostra o próximo resultado:

Teorema: Seja f:ℝàℝ⁺ uma função monótona injetiva (isto é, crescente ou decrescente). As seguintes afirmações são equivalentes:

(1) f(nx) = f(x)ⁿ para todo nÎℤ e todo xÎℝ;

(2) f(x)=a^x para todo xÎℝ, onde a=f(1);

(3) f(x+y) = f(x)×f(y) para quaisquer x, y Îℝ.

A demonstração deste teorema encontra-se no livro A matemática no Ensino Médio – Volume 1- Elon Lages Lima, et al. págs.183-185.

Para encontrar a lei de formação da função, pelos valores obtidos como no exemplo 1, utilizamos o seguinte resultado.

Teorema: Seja f:ℝàℝ⁺ uma função monótona injetiva tal que, para x,h Îℝ quaisquer, o acréscimo relativo [g(x+h)-g(x)]/g(x) dependa apenas de h, mas não de x. Então se b=g(0) e a=g(1)/g(0), tem-se g(x) = ba^x para todo xÎℝ.

A demonstração deste teorema encontra-se no livro A matemática no Ensino Médio – Volume 1- Elon Lages Lima, et al. pág.186.

Voltando no exemplo 1 teremos:

f(0)=b

f(1)/f(0)=a

f(0) = 25 = b

f(1) = 12,5

f(1)/f(0)= 12,5/25=1/2=a

Logo:

f(x) = ba^x

f(x) = 25×(1/2)^x

Aplicações

1) Esboce o gráfico das seguintes funções exponenciais:

a) f(x) = 3^x

Solução

Faremos antes uma tabela dos valores da função

X	f(x)
0	3^0 = 1
1	3^1 = 3
2	3^2 = 9
3	3^3 = 27
4	3^4 = 81

Como esses poucos valores podemos ter uma idéia do gráfico da função e assim esboçamos o gráfico:

b) f(x) = 2^{x + 1}

Solução

Construiremos primeiramente uma tabela dos valores da função:

x	f(x)
-1	2^-1 + 1 = 2^0 = 1
0	2^0 + 1 = 2^1 = 2
1	2^1 + 1 = 2^2 = 4
2	2^2 + 1 = 2^3 = 8

Com esses poucos valores podemos ter uma idéia do gráfico e assim o esboçamos:

2) Identifique como crescente ou decrescente as seguintes funções exponenciais.(Lembre-se de que a base é denominada por “a”)

a) f(x) = 5^x

Solução: é crescente, pois a base é maior do que um, isto é, a>1.

b) f(x) =

Solução: é decrescente, pois a base está entre zero e um, isto é, 0<a<1.

c) f(x) = 4^x

Solução: é crescente, pois a base é maior do que um, isto é, a>1.

d) f(x) = (0,1)^x

Solução: é decrescente, pois a base está entre zero e um, isto é, 0<a<1.

e) f(x) = (π)^x

Solução: é crescente, pois a base é maior do que um, isto é, a>1Aπ = 3,14...

Para termos idéia de onde é usada a função exponencial veja este exemplo:

3) O número de bactérias em um meio de cultura cresce aproximadamente segundo a função n(t)=2000×3^0,04t, sendo t o número de dias após o início do experimento. Calcule:

a) O número n de bactérias no início do experimento;

b) Em quantos dias o número inicial de bactérias irá triplicar.

Solução:

a) Sabemos que o início o t=0 logo temos que calcular n(0)

n(0) = 2000×3^0,04×0

n(0) = 2000×3⁰

n(0) = 2000×1

n(0) = 2000

Logo, o número de bactérias no início do experimento era de 2000.

b) Temos agora que o número inicial era de 2000 quando ele triplicar o número será de 6000. logo precisamos ter n(t)=6000, mas n(t)=2000×3^0,04t. Temos então que

2000×3^0,04t = 6000

2000×3^0,04t = 2000×3

3^0,04t=3

0,04t = 1

t=1/0,04

t=25

Então, para triplicar as bactérias do início do experimento serão necessários 25 dias.

Apêndice A - Revisão sobre potenciação

Expoente inteiro positivo

Se a é um número real e n é inteiro e positivo, a expressão aⁿ representa o produto de n fatores todos iguais a a, ou seja:

Na expressão aⁿ, o número real a é denominado base e n é denominado expoente

Exemplos

2³=2 . 2 . 2 = 8

(-4)² = (-4) . (-4) = 16

(-5)³ = (-5) .(-5) . (-5) = -125

Para n=1, define=se a¹ = a

10¹ = 10

Expoente Inteiro Negativo

Sendo a um número real não nulo e n um número inteiro negativo, define-se:

a^-1 =

a^-n =

Exemplos

3^-1 =

10^-2 = =

Sendo a um número real positivo e m,n números inteiros e positivos, define-se

a^m/n = = raiz enésima de a elevado ao expoente m

a^-m/n =

Propriedades gerais

Propriedade	Regra
a^m . a^n = a^m+n	Repete-se a base e somam-se os expoentes
a^ma^n = a^m-n	Repete-se a base e subtraem-se os expoentes
(a^m)^n = a^m.n	Repete-se a base e multiplicam-se os expoentes
(a . b)^n = a^n . b^n	Eleva-se cada fator ao expoente comum
	Eleva-se o numerador e o denominador ao expoente comum